Re: [問卦] 微積分是不是很唬爛

※ 引述《gm023347599 (22K工讀生)》之銘言： : 安安 : 微積分 : 首先就要學生了解極限的概念 : 說什麼極限就是無限逼近 : 誰知道無限是什麼啊 : 又不是一個明確的數字 : 他媽的老師也不知道無限是什麼 : 只會要學生去想像 : 無限減掉無限竟然會是一個數字 : 也太唬爛了吧 : 微積分是不是都在唬爛啊? : 有沒有八卦 沒錯，而且你並不是第一個提出這個問題的人， 就在牛頓與萊布尼茲奠定微積分的時期(17th)， 歷史上也曾經有人覺得微積分根本就在豪洨， 那就是愛爾蘭的一位主教George Berkeley。 以一個簡單的函數y=f(x)=x^2對x微分來說， 這件事可以視為求f在兩點(x,f(x))與(x+dx,f(x+dx))上的斜率 根據國中數學這件事應該是 f(x+dx)-f(x) f'(x)=-------------- dx (x+dx)^2-x^2 =-------------- dx 2xdx+dx^2 =-------------- ...(1) dx 此時我們把dx視為是一個很小，但不等於零的數字， 所以我們將分子分母同除以dx，可以得到 f'(x)=2x+dx ...(2) 而dx實在是太小了，所以我們可以將他忽略，得到 f'(x)=2x 所以x^2的微分就是2x。 聰明的George Berkeley主教馬上發現這個運算過程的不嚴謹之處， 你在式(1)時把dx視作不為零除掉，卻在式(2)把他當作零給省略， 那麼dx到底是不是零? 這位主教還戲稱dx是ghosts of departed quantities。 事實上當時還真的沒有人有辦法解答這個質疑，讓微積分的發展蒙上了一層陰影。 不過微積分在物理學以及各項科學中實在太有用了， 所以許多微積分的技巧與應用仍然蓬勃發展起來。 這件事要到整整一個世紀後的法國數學家柯西才獲得解決。 用現代數學來說明，就是用極限繞過無窮小量。 以下是每個理工科的大一微積分都會學到的極限定義 lim_(x→a) f(x) = L <=> for any ε>0, there exists δ>0 such that |f(x)-L|<ε whenever 0<|x-a|<δ 意思是 如果你隨便給一個f(x)對某一個值L的誤差範圍ε， 我都可以找到足夠靠近a的數字， 讓我的函數值與L的差坐落在你要的誤差範圍之內。 而這個數字與a的距離不超過δ，但也不是零。 此時，我們會說當x逼近a時，f(x)的極限是L。 這個讓人頭昏腦脹的定義有兩大重點， 第一是它明確指出極限是一種動態過程，利用函數值與極限值的誤差要求來定義極限， 而不是企圖在無窮小量的實數除法上作文章。 第二是它表明函數在某個點上，極限值的存在與否，跟函數在那一點的值沒有任何關係， 端看函數在那點附近的行為。 所以當我們在說f(x)對x微分時， 數學上我們只是說某個除法式的極限，就不用管什麼無窮大無窮小啦！ 大概是這樣。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.114.6.88 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1510076865.A.47B.html 這樣說的確是比較好的，我們解題時要找的是delta而不是夠靠近a的x， 我為了順暢閱讀選了比較非教科書的說法，不過我覺得兩個意義是等價的。 ※ 編輯: oaoa0123 (140.114.6.88), 11/08/2017 03:01:01